浅析CAD系统中公差信息建模与表示技术教程

　　公差信息的建模与表示是指在计算机中对某一实体模型或特征模型进行准确无误的公差表述，并对其语义作出正确合理的解释。通过建模与表示，公差信息能够在产品的整个生命周期被使用，从而相应的操作也能顺利进行，这就为CAD/CAM的集成提供了更好的基础。

　　实现CAD/CAM的有效集成对企业制造出高精度的产品、提高市场竞争力是十分关键的，而其实现的基础是能够从CAD系统中提取出必需的信息，实现计算机辅助工艺规划(CAPP，Computer Aided Process Planning)，从而形成CAD/CAPP/CAM的集成。现有CAD系统的核心是一个实体造型器，它只提供了对实际物体精确的数学表示[1-5]，不能表示对CAPP有用的全部信息，如技术要求、公差信息等。公差信息对于CAPP的作用是显而易见的，它直接影响工艺规划路线的选择与生成，从而影响CAD/CAM的集成。国际生产工程学会CIRP原主席R.Weill[6]曾撰文指出：CAD/CAM信息集成主要是公差信息的集成，如不加以解决，CAD/CAM集成就难以实现。

　　目前国内外对于公差信息的建模与表示进行了大量的研究[35-37]，是当前国际学术界研究的热点一，受到了愈来愈广泛的重视。本文试图对其研究内容与研究现状作较为全面的阐述，并对其以后的发展作一些探索。

　　公差信息建模与表示的研究内容与现状

　　公差信息的建模与表示首先要有一个数学模型，其次是表示模型[8-9]。数学模型是指对公差信息语义的数学描述与解释，它应该包括两个问题：公差域边界的描述和满足公差要求的变动要素的描述，即按工程语义来解释公差信息;表示模型是指公差信息在计算机中的表述，以一种数据结构的形式存在。一般来讲，正确合理的公差信息建模首先需要一个数学模型，并针对该数学模型建立相应的计算机表达方式即表示模型，这样可以在表示模型中完整地表示数学模型所需的各种信息。但数学模型与表示模型之间并不存在严格的一一对应关系，而是交叉对应关系，理论上针对一个数学模型可以设计出多种表示模型，反之，一种表示模型也可以为多种数学模型服务，仅仅将公差当作文本符号处理的简单表示模型甚至可以没有对应的数学模型，此时对其所表示的公差信息未作出任何语义的解释，公差仅为一种符号。

　　1数学模型研究内容与现状

　　从七十年代末开始研究计算机辅助公差设计技术以来，对公差信息建模与表示的数学模型从不同的侧面进行了大量的研究，出现了以下几种数学模型。

　　1) 漂移模型(Offsetting Model)

　　Requicha[10-11]针对几何造型的需求，以变动簇为基础，于1983年提出了一种全新的公差数学模型，这个模型用点集形式来表述，实体S是欧氏空间的一个正则子集，用点集定义了其上特征{Fi}。在Requicha看来，公差目的就在于定义一系列物体组成的类，它们满足：(1)在装配过程中可互换;(2)功能上等价。并把这个类称为变动类(variational class)。由此公差就指一个具有计算功能的实体，是对一个变动类的表示，公差的数学表达是：

　　T =(S，{Fi}，{Aij})(1)

　　式中：S为所需添加公差的实体;{Fi}为该名义实体的边界;{Aij}是公差要求。

　　上述定义的公差经过漂移，得到漂移实体o(Δ，S)为：

　　式中：Δ为漂移量(与公差有关)，-*为正规差，C*为正规补，d(p,S)为点P到实体S的距离。

　　漂移形成的区域即为公差带，实际特征位于公差带内则认为合格。通过漂移可定义相应的尺寸Tulaoshi.com及形状、位置公差带。Srinivasan和Jayaraman[12-13]、张文祖[14] 、Etesmi[32]等人进一步完善了漂移模型。

　　用漂移的方式来形成公差域的边界是十分简单方便的，易于实现，且无二义性，但它有几点不足：(1)对于位置公差，它与ISO标准的解释是不相容的;(2) 没有严格按语义解释定向公差和形状公差，因为前者的位置是不定的，而后者的位置和方向均是不定的，不能仅仅在理想方位上进行漂移而得到公差域;(3) 对非配合要素的尺寸公差过于严格;(3)它只能用来表示公差域的边界，对变动后的要素并未作出解释。

　　2)基于几何约束变动的参数矢量化数学模型

　　Hillyard和Braid[15-16]把几何实体视为物理框架(Frame)，初始时框架处于自由状态，松散地联结，点和边分别对应框架的节点和连杆。而尺寸信息是一些使框架受到约束从而得到固定的固件(Stiffening)。公差信息则是尺寸信息所允许的微小变动，相当于一种微型滑动机构。故其约束方程组为：

　　这样可以通过参数矢量的位移矢量来表示出尺寸公差的大小。

　　Light[17]通过分析约束方程组的Jacobian矩阵、引入了数值方法，处理问题效率较高。

　　参数矢量化方法能较好地表示尺寸公差信息，但是对形状的变化则必需对表面上每一点进行参数化，也就需要无穷维矢量才能完整的表示形状误差，这是不可能的，所以此种模型无法处理形位公差。

　　3)基于公差函数与矢量方程的数学模型

　　Hoffman[18]在三维欧氏空间中发展了一种公差模型，它把几何图形视为由一些点矢量组成，公差被解释为一系列的以点矢量为参数的公差函数。满足公差要求即为满足：

　　式中：x为零件的参数矢量;f为公差函数;L、U为公差域的上、下界。

　　Turner[19]在变动实体造型的基础上也提出了基于公差可行域的公差模型。ASME[20]于1994年颁布了尺寸和公差数学定义的新标准，以严格的数学形式来公差，其实质是用点集的矢量方程来定义公差域。在数学定义中，用中心要素的位置矢量来确定公差域的位置，用中心要素的法矢量来确定公差域的方向，公差域的大小由用户给出，而公差域的形状可以由矢量方程直接确定。

　　目前这种方法也主要是用来确定公差域的边