费尔马“二平方”素数    问题的提出除２这个非凡的素数外，所有的素数都可以分成两类：第一类是被4除余1的素数，如5,13,17,2937,41;第二类是被4除余3的素数，如3,7,11,19,23,31。第一类素数都能表示成两个整数的平方和（第二类则不能）。
　　  例如：5=1-1+2*213=2*2+3*317=1*1+4*4  29=2*2+5*5这就是闻名的费尔马“二平方”定理。有趣的是：上述等式右侧的数有的又恰恰是两个素数的平方，如13,29的表达式，我们起名叫作费尔马“二平方”素数，即假如一个素数能够表示成两个素数的平方和的形式：Ｆ＝Ｘ＊Ｘ＋Ｙ ＊Ｙ （１）其中Ｆ、Ｘ、Ｙ 都是素数，它就是费尔马“二平方”素数。
　　  编程思路本文拟用ｃ 语言编程，求４２亿之内的费尔马“二平方”素数。假如按定义从左向右，先求一个素数Ｆ，然后再去找相应的素数Ｘ、Ｙ ，工作量重复太大。我们可以对上述公式进行分析：
　　  １、左侧Ｆ 是素数，它肯定是奇数，那么右侧两式的和也应该是奇数，这样Ｘ 和Ｙ 为一奇一偶，因为奇数的平方还是奇数，偶数的平方还是偶数。Ｘ、Ｙ 又要求是素数，而既是偶数又是素数的数只有一个，就是２。我们假定Ｘ＝２。所以（１）式可以简化为：Ｆ＝２＊２＋Ｙ ＊Ｙ（２）也就是说，费尔马“二平方”素数的表示形式是惟一的。
　　  ２、按式（２）由右向左，由小到大找素数Ｙ ，再计算出相应的Ｆ，判定其是否素数。
　　  ３、求出素数Ｙ 后将其保存起来，在判定其它数是否素数时可直接用已求出的素数去除，如此反复。
　　源程序
　　#includemath.h
　　void main()
　　{
　　    unsigned long i,j,a[10000],m,m1=3,m2=7,b=1,n=0,d=1,x=4000000000;
　　    a[1]=2;
　　10:for(i=m1;i=m2;i++,i++)
　　{
　　    if(i%a[1]==0) goto 13;
　　    for(j=2;j=d-1;j++)
　　    if(i%a[j]==0) goto 13;
　　    a[b++]=i; m=i*i+4;
　　    if(mx) goto 14;
　　    for(j=2;j=b-2;j++)
　　    if(m%a[j]==0) goto 13;
　　    printf("%20lu=2*2+%5lu*%5lu",m,i,i);
　　    if(++n%2==0) printf("");
　　    13:m1=m2+4; m2=a[++d]*a[d]-2;
　　    goto 10;
　　    14:printf("total=%lu",n);
　　}
　　结论
　　运行程序会发现，除“２９＝２＊２＋５＊５”以外，所有的费尔马“二平方”素数个位数字都是３，相应Ｙ 的个位数字都是３或７。费尔马“二平方”素数分布（修改程序中变量ｘ 的值得到）也很耐人寻味，请看下表（表中１０万以内包含１万以内，下同）：
　　范围个数最大的一个的表达式
　　１万１０９４１３＝２＊２＋９７＊９７
　　１０万２０９７９７３＝２＊２＋３１３＊３１３
　　１００万４２９９４０１３＝２＊２＋９９７＊９９７
　　１０００万７６９２２３３７３＝２＊２＋３０３７＊３０３７
　　１亿１８３９７７５２７７３＝２＊２＋９８８７＊９８８７
　　１０亿４２７９９９００２４５３＝２＊２＋３１６０７＊３１６０７
　　２０亿５５１１９８３１８８０９３＝２＊２＋４４５３３＊４４５３３
　　３０亿６４１２９９３５１２３７３＝２＊２＋５４７１３＊５４７１３
　　４０亿７１８３９７７４４６４９３＝２＊２＋６３０６７＊６３０６７
　　费尔马“二平方”素数太少了，４０亿内才７１８个，千万分之二还不到呢。
　　  随着数的范围的增大，似乎越来越稀少，但再往后永远是这样吗？会不会在某个范围内反而又稠密起来呢？
　　  费尔马“二平方”素数是无穷多个呢，还是有限多个呢？假如是有限个，又是多少个呢？最大的一个又是什么数呢？
　　  这些问题的证实可能很简单，也许很复杂，真说不定会成为像“哥德巴赫猜想”那样的谜呢！
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　　下面是作者原程序,因为是中文全角,上面的就改了一下原文放在下面对照:
　　＃ｉｎｃｌｕｄｅ″ｍａｔｈ ．ｈ″
　　ｍａｉｎ（）
　　｛ｕｎｓｉｇｎｅｄ ｌｏｎｇｉ ，ｊ ，ａ［１００００］，ｍ，ｍ１＝３，ｍ２＝７，ｂ ＝１，ｎ ＝０，ｄ ＝１，ｘ＝４０００００００００；
　　ａ［１］＝２；
　　ｌ０：ｆｏｒ （ｉ ＝ｍ１；ｉ ＜＝ｍ２；ｉ ＋＋，ｉ ＋＋）
　　｛ｉｆ （ｉ ％ａ［１］＝＝０）ｇｏｔｏ ｌ３；
　　ｆｏｒ （ｊ ＝２；ｊ ＜＝ｄ －１；ｊ ＋＋）
　　ｉｆ （ｉ ％ａ［ｊ］＝＝０）ｇｏｔｏ ｌ３；
　　ａ［ｂ ＋＋］＝ｉ ；ｍ＝ｉ ＊ｉ ＋４；
　　ｉｆ （ｍ＞ｘ）ｇｏｔｏ ｌ４；
　　ｆｏｒ （ｊ ＝２；ｊ ＜＝ｂ －２；ｊ ＋＋）
　　ｉｆ （ｍ％ａ［ｊ］＝＝０）ｇｏｔｏ ｌ３；
　　ｐｒｉｎｔｆ（″％２０ｌｕ ＝２＊２＋％５ｌｕ ＊％５ｌｕ″，ｍ，ｉ ，ｉ）；
　　ｉｆ （＋＋ｎ ％２＝＝０）ｐｒｉｎｔｆ（″＼ｎ″）；
　　ｌ３：；｝ｍ１＝ｍ２＋４；ｍ２＝ａ［＋＋ｄ］＊ａ［ｄ］－２；
　　ｇｏｔｏ ｌ０；
　　ｌ４：ｐｒｉｎｔｆ（″＼ｎｔｏｔａｌ ＝％ｌｕ＼ｎ″，ｎ）；
　　｝