作为一个系统程序员, 有必要对这些细节有深入的了解. 本篇参考csapp, 主要介绍如何判断算术运算的越界问题.
(虽然本篇的代码经过大量的测试, 但本人仍然无法保证代码的正确性, 希望大家纠错).
讲解的原则是"摆定理, 不证明, 写代码". 具体的证明过程在csapp中有详细的讲解, 也不是太难. 主要使用关键定理来写代码. Go~
问题一: 无符号数的加法越界问题
[定理]
[理解]
这个定理比较容易, 也比较能让人接受. 不解释啦.
代码如下：
/* Determine whether arguments can be added without overflow */
int uadd_ok(unsigned int x, unsigned int y)
{
return !(x+y x);
}
问题二: 无符号数的减法越界问题
[定理]
[理解]
1. 计算机中没有减法, x-y = x+(-y), 这里的-y就是上述的y的加法逆元. 不管是有符号还是无符号, 都是转换为加法运算. 只是加法逆元的定义不同. 
3. C语言保证 -x = ~x+1; 可以验证这种方式与上面公式等价.
4. s=x-y = x+(-y). 那么 不会溢出 等价于 y不为0 或者 !uadd_ok(x, -y).
代码如下：
/* Determine whether argumnts can be substracted without overflow */
int usub_ok(unsigned int x, unsigned int y)
{
return !y || !uadd_ok(x, -y);
}
问题三: 无符号数的乘法越界问题
[定理]
[理解]
等价条件可以相互推导即可.
代码如下：
/* Determine whether arguments can be multiplied without overflow */
int umul_ok(unsigned int x, unsigned int y)
{
unsigned int p = x * y;
return !x || p/x==y;
}
问题四: 有符号数的加法越界问题
[定理]
对于两个有符号数x, y. 越界的等价条件是x,y为负数, x+y为正数或者x,y为正数, x+y为负数.
[理解]
这个定理比较容易.
代码如下：
/* Determine whether arguments can be added without overflow */
int tadd_ok(int x, int y)
{
return !(x0&&y0&&x+y0 || x0&&y0&&x+y0);
}
问题五: 有符号数的减法越界问题
[定理]
[理解]
同无符号的减法一样, 只是加法逆元的定义不同, 但是位模式是一样的. C语言可以保证-x=~x+1. 同样也分两种情况讨论.见代码.
代码如下：
/* Determine whether arguments can be subtracted without overflow */
int tsub_ok(int x, int y)
{
#if 0
if (y == INT_MIN)
return x0;
else
return tadd_ok(x, -y);
#endif
return y==INT_MIN&&x0 || y!=INT_MIN&&tadd_ok(x, -y);
}
问题六: 有符号数的乘法越界问题
[定理]
完全同无符号的乘法一样.
代码如下：
/* Determine whether arguments can be multiplied without overflow. */
int tmul_ok(int x, int y)
{
#if 0
int p = x * y;
return !x || p/x==y;
#endif
return umul_ok(x, y); /* 直接调用 */
}
